QED o ¿Que es una prueba?

(I) «Eso está demostrado matemáticamente»

En nuestra jerga cotidiana solemos hablar de que ciertas hipótesis, ideas o teorías están más que  «probadas». Al hablar de prueba en cierta forma hablamos de una certeza, de algo que ya ha dejado de ser un mero enigma para darnos una suerte de alivio a nuestra cabeza llena de dudas. Cuando nos enteramos que alguien fue declarado como culpable en un juicio criminal, decimos que se «probo» que en efecto esa persona cometió ciertos delitos. Otro ejemplo es cuando en medio de una discusión con un escéptico de la relatividad le decimos que la teoría de Einstein esta «probada» más allá de toda duda. O incluso hablamos de verdades «probadas» matemáticamente,  como el teorema de Pitágoras. Lo que quiero decir es que es común utilizar la palabra «prueba», «probado» o «demostrado» en distintos contextos para disciplinas como el derecho o las diversas ciencias. Pero hay un problema con la idea de asociar los términos como «prueba» a certeza absoluta. En el caso del derecho los juicios pueden ser falibles, nuestro acusado podría en realidad ser inocente debido al típico caso del error judicial. Y si miramos el caso de teorías científicas, si asociamos la idea de «probado» a «verificado», Karl Popper vendría a decirnos lo siguiente: primero que cometemos la falacia de afirmación de consecuente y segundo que las teorías no se verifican sino que se falsan. Lo que quiero decir es que también nuestras teorías científicas son falibles, por lo cual no podemos asociar la idea de «prueba» a certeza absoluta. Sin embargo hay un campo de la ciencia donde la idea de prueba sí parece asociarse a la certeza, a algo que va más allá de toda duda posible: las matemáticas. La concepción que se tiene de la prueba matemática es que una vez que un teorema matemático está probado o demostrado, pasa a ser una verdad eterna e inmutable. El teorema de Pitágoras sigue siendo cierto desde los tiempos de los griegos hasta nuestros días y eso no parece que fuera a cambiar. Teniendo esto en cuenta, tranquilamente nos podríamos preguntar ¿Que es una prueba matemática?

(II) Distintas concepciones sobre la prueba 

Estamos en un aula. Supongamos que le pedimos a un matemático que nos pruebe el ya mencionado teorema de Pitágoras. Agarra la tiza, hace un montón de garabatos y al final pone un «QED»: quod erat demonstrandum o «lo que se quería demostrar» en español. El matemático nos dice «¿Entendieron?» y lo más probable es que si no estamos entrenados o no somos estudiantes de matemáticas le digamos «No, no entendimos». La prueba de un teorema es algo complicado de entender, pero quizá sea mejor entender por qué tal prueba califica como prueba, por qué esa demostración en el pizarrón es una prueba de ese famoso teorema.

Hay muchas formas en las que se puede probar un teorema matemático, ya sabemos que todos los caminos pueden llevar a roma. Pero los pasos o las formas en las que se hace una demostración pueden entenderse según dos tipos de filosofías distintas: Formalistas o no formalistas. Quizá habría que explicar un poco estos términos que no son usuales para el lector.

Entiendo por filosofía formalista (en sentido amplio) a la filosofía que sostiene que la matemática puede reducirse a un sistema formal, con una lista de axiomas o postulados y reglas de inferencia. Para aclarar, un axioma es una proposición clara y evidente que no requiere demostración. Los axiomas en el sistema formal serían como los puntos de partida en un juego de ajedrez, mientras que las reglas de inferencia serían las reglas de movimiento de las piezas. En esencia esto quiere decir que la prueba matemática se entendería apelando a una serie de axiomas, donde mecánicamente podríamos comprobar si se deduce o no de la lista inicial. Por ejemplo si queremos probar el teorema de Pitágoras, podríamos hacerlo utilizando un sistema formal con ciertos axiomas de la geometría. La filosofía formalista de la prueba matemática plantea que todas las pruebas son formales o pueden formalizarse, o sea, que pueden hacerse con una lista de axiomas y reglas de inferencia. La llamada «tesis de Hilbert» que dice lo siguiente: «Toda prueba matemática puede transformarse en una prueba formal con la lista apropiada de axiomas».

La filosofía no formalista, en cambio, nos plantea una concepción distinta de la prueba y de la actividad matemática. Si vemos una revista matemática, o mejor, buscamos una prueba del teorema de Pitágoras en internet, nos daremos cuenta de que no presentan una lista de axiomas sino que apelan a ciertos principios, experimentos mentales u otros resultados matemáticos. El matemático Reuben Hersh nos dice que la prueba matemática es más bien «un argumento convincente, que es juzgado por los jueces calificados». Así por ejemplo si una prueba del teorema de Pitágoras se muestra como un razonamiento convincente a los ojos de la comunidad matemática, calificaría como prueba aun si no es una prueba formalizada. Hay que aclarar que la filosofía no formalista no niega en principio la tesis de Hilbert, pero considera que en muchos casos es algo impracticable y que requiere mucho tiempo y esfuerzo.

(III) Características de la prueba según la filosofía no formalista

En general la filosofía no formalista está asociada con una concepción anti-fundacionalista de la matemática, mientras que el formalismo seria fundacionalista. Por eso mencione que el formalismo debe entenderse en sentido amplio, ya que abarcaría las escuelas fundacionalitas clásicas como el logicismo, intuicionismo y formalismo propiamente dicho. El anti-fundacionalismo puede rastrearse a la filosofía de Imre Lakatos, pasando por otros autores como Philip Kitcher, Reuben Hersh o Paolo Mancosu. Estos autores plantearon que la filosofía de la matemática no debe entenderse como sinónimo del estudio de los fundamentos de la matemática. La filosofía de la matemática debería dejar de enfocarse en los fundamentos. En cambio debe mirar la historia de la matemática y ver cómo fue evolucionando la actividad del matemático en su práctica.

Al plantear la necesidad de ver la práctica y la historia de la matemática, podemos ver que la prueba matemática es rigurosa y convincente pero que no necesariamente tiene que estar formalizada. En esta concepción, el trabajo del  matemático parte de un problema, una conjetura que quiere resolverse, y no de los axiomas. Stanisław Krajewski plantea una serie de características que tiene la prueba matemática en la filosofía no formalista. Son las siguientes:

1. Debe ser convincente: La mayoría de las pruebas no refieren a un grupo de axiomas, sino a trabajos matemáticos ya establecidos. Por eso como mencionaba Hersh, se trata de un argumento que busca convencer a expertos en el área de investigación.

2. Debe ser entendible: Este es un argumento casi psicológico. De nada sirve una prueba que un experto no pueda comprender.

3. Debe ser explicatoria: La prueba debe explicar los conceptos y sus relaciones, no solo mostrar la verdad de la conclusión sino el porqué de la verdad de la conclusión. Muchas veces puede recurrirse a resultados de otras áreas de la matemática que sean distintas a las de la que se está trabajando. Por ejemplo, la prueba del último teorema de Fermat de Wiles recurría a resultados de otras áreas distintas de la teoría de números.

4. Debe ser revisable: Este es un punto contencioso. Las pruebas matemáticas en general se consideran como una verdad absoluta una vez demostrada. Sin embargo, la historia de la matemática nos muestra que en algunos casos algunas pruebas fueron revisadas y corregidas posteriormente. Algunos ejemplos son la conjetura de Euler para los poliedros o el teorema de Cauchy sobre la continuidad del límite de funciones continuas. Esto puede deberse a varios factores, por ejemplo un cambio en nuestro entendimiento de ciertos conceptos involucrados en la prueba o también que la prueba no sea considerada como rigurosa bajo nuevos estándares. Aquí parece entrar en conflicto con el primer punto porque altera nuestra idea de argumento convincente ¿Es convincente para los expertos de hoy pero no los de mañana? Personalmente no creo que haya un relativismo ya que una prueba hasta estar establecida como absoluta requiere de un escrutinio arduo. La primera prueba del último teorema de Fermat resulto que tenía unos errores que se detectaron a los meses y luego fue corregida por Wiles junto a su alumno Richard Taylor. Como solución a esto Silvia de Toffoli plantea que estos argumentos revisables no son pruebas propiamente dichas, sino símil-pruebas: Argumentos que lucen como pruebas para los expertos y que en el mejor de los casos lo son, en el peor de los casos no.

(IV) A modo de conclusión

Como vimos tenemos dos concepciones sobre que califica como una prueba matemática pero que realmente no están en conflicto. Solo si llevamos al extremo la tesis de Hilbert afirmaríamos que las pruebas no son tales hasta que son formalizadas. Esto es algo que disgustaría a cualquier matemático o filósofo de la matemática. Podemos sostener débilmente la tesis de Hilbert y sin embargo reconocer que la mayoría de las pruebas no son formales, que la actividad del matemático no se limita al formalismo. Quizá el punto a favor de la formalización es que una vez formalizada la prueba es muy difícil que esta sea revisable debido a la naturaleza mecánica que tienen los sistemas formales. Como conclusión, creo que deberíamos pensar en la actividad del matemático como tal para establecer una filosofía de la matemática adecuada y no en nuestra idealización de como seria la actividad matemática.

Referencias:

Hersh, Reuben (2014),  Experiencing Mathematics: What do we do, when we do mathematics?, American Mathematical Society.

Hersh, Reuben y Davis, Philip (1989), Experiencia Matemática, Ed. Labor.

Krajewski, Stanisław. «Anti-foundationalist Philosophy of Mathematics and Mathematical Proofs» Studia Humana, vol.9, no.3-4, 2020, pp.154-164. https://doi.org/10.2478/sh-2020-0034

Lakatos, I. (1976). Proofs and Refutations. Cambridge: Cambridge University Press.

Toffoli, Silvia De » Groundwork for a Fallibilist Account of Mathematics» The Philosophical Quarterly, Volume 71, Issue 4, October 2021, pqaa076, https://doi.org/10.1093/pq/pqaa076

Tymoczko, Thomas (ed.) (1986), New Directions in the Philosophy of Mathematics, An Antology, Basel: Birkhäuser.